どうも、こんにちはDKです。
今回は中学3年生で習う「平方根」についての後半になりますね。
後半では、根号をふくむ式の計算についてやっていくよ。
この「平方根」の前半では平方根って何?ってところや近似値、有効数字
有理数、無理数ってところの基礎についての解説をやってるよ。
前半を学びたいって人は、ここをクリックして。
それでは、根号をふくむ式の計算について解説やって行きますね。
1.根号をふくむ式の計算
根号って言うのは、記号\(\sqrt{a}\)を使って表してあげて、たとえば\(2\)の平方根は?
っていうと\(\sqrt{2}\)って書いて表すものだったよね。
じゃあ、ここで \(\sqrt{2}×\sqrt{3}\) っていう、根号を使った式の計算について
考えてみよう。
この \(\sqrt{2}×\sqrt{3}\) を計算するために、これを一度、2乗して根号を
なくした式にしてあげるんだね。そうすると。。。

それぞれ、\(\sqrt{2}\)と\(\sqrt{3}\)が2乗されるので
根号をなくしてあげて、\(2×3\)になるんだね。
ようするに、 \((\sqrt{2}×\sqrt{3})^2=2×3\)ってことになるんだね。
そして、\(\sqrt{2}\)と\(\sqrt{3}\)っていうのは正の数なので、
\(\sqrt{2}×\sqrt{3}\) も正の数ってことになるよね。
なので、 \(\sqrt{2}×\sqrt{3}\) は\(2×3\)の正の平方根ってことなので
\(\sqrt{2×3}\)とすることができるんだ。なので、

と計算することができるってことなんだね。
同じように、 \(\sqrt{2}÷\sqrt{3}\)について考えてみよう。
これは、\(÷\)を使わずに表すと、 \(\sqrt{2}÷\sqrt{3}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)と
なるので、\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)で考えていくよ。
まずは、乗法のときと同じように\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)を2乗して
根号をなくしてあげる計算をすると。。

ってことなので、\((\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}})^2=\frac{2}{3}\)となるってことだね。
これも乗法と同じで、\(\sqrt{2}\)と\(\sqrt{3}\)っていうのは正の数なので
\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) も正の数ってことで \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) は
\(\frac{2}{3}\)の正の平方根は\(\sqrt{\frac{2}{3}}\)となるんだね。なので

として、計算してあげることができるってことになるんだね。
これらのことから、この根号をふくむ式の計算の乗法、除法は次のように
考えてあげることができるってことなんだね。
<根号をふくむ数の乗法、除法>
\(a>0\)、\(b>0\)のとき
\(\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{a×b}\)
\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)
ようするに、根号のふくまれた数の乗法、除法は一つの根号に入れてあげて
そのまま、計算してしまうことができますよってことを言っているんだね。
例題をあげるとこういうことだね。

こうやって、計算することができるんだね。
次はこの根号をふくむ数の乗法、除法を使って
2.根号をふくむ数の変形
[1] \(a\sqrt{b}\) を\(\sqrt{c}\) の形に変形させる
今度は、根号の数と整数の乗法 \(2×\sqrt{3}\)を見てみると
これって言うのは、「×(かける)」っていうのをなくしてあげて\(2\sqrt{3}\)として
表してあげることができるんだ。
そして、この「\(2\sqrt{3}\)」は根号だけの形「\(\sqrt{c}\)」で表してあげることができて。。

こんな風に、整数の「2」を根号のついた形で表してあげて「\(\sqrt{4}\)」としてあげて
\(\sqrt{3}\)と根号どうしの乗法で計算してあげてるんだね。
[2] 根号の中をできるだけ小さい自然数で表す
[1] で解説したように、\(2\sqrt{3}=\sqrt{12}\)ですよってことだったんだけど
これは逆に言うと、\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)ってことが言えるってことなんだね。
こんな風に、混合だけで表したから整数にできる数を外に出してあげることを
「根号の中をできるだけ小さい自然数で表す」って言うんだ。
こんな風に、根号の中をできるだけ小さい自然数で表すときっていうのは
こんな計算の仕方をするよ。。

まずは、根号の中の数を小さい数で表してあげるってことなんだけど
これっていうのは、根号の中の数をそ素因数分解をしてあげてるってことになるんだね。

素因数分解してあげた中で、同じ数を指数にしてあげて
指数の数が2の倍数となるものを根号を外しで表せるってことなので
根号をなくしてあげれば、いいってことなんだね。

この「根号の中をできるだけ小さい自然数で表す」っていうのは
この平方根の計算の答えとして表してあげることがよくあるので
やり方をしっかり覚えて、使えるにしておこう。
[3] 根号の中に分数や小数をふくむ数の変形
根号をふくむ計算では、分数や小数をふくまれた場合も
同じことが言えるんだ。分数の場合は。。

分母と分子をそれぞれ、見てあげて根号をなくして表してあげたり
できるだけ小さい自然数の数で表してあげて、約分してあげたりすることが
できるんだね。小数の場合では。。

小数の場合では、まず分数に変形させてあげて、そこから
分数の変形と同じようにしていってあげればいいってことなんだね。
こんな風に、根号をふくむ数っていうのは、中の数を色々と変形して
あげることができて、変形させることで根号の計算をやりやすくしたり
することができるようになるんだ。
3.根号をふくむ数の近似値を求める
根号をふくむ数の近似値を求める方法について考えてみよう
\(\sqrt{2}=1.414\)としたときに、\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)の値がどうなるか
計算すると。。

となるので、\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)の近似値は\(0.707\)ですよってことになるんだね。
そして、これっていうのは、\(\frac{1.414}{2}=0.707\)と計算しても
同じ値を求めることができるんだね。
ようするにこういうことが言えるんだね。

\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)と\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)は等しいってことが言えるんだね。
これだけ見ると、なんで??ってなってしまうんだけど、これっていうのは
\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)の分母と分子に\(\sqrt{2}\)をかけてあげると。。

\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)になるんだね。
こんな風に、分母に根号のある式の分母に根号のない形にすることを
分母を有理化(ゆうりか)するっていうんだね。
この分母を有理化するっていうのは、その式の値っていうのは
有理化する前と後で変わらないっていう特徴もあるんだ。
例題をあげると。。。

有理化するっていうのは、分母の根号をなくしてあげるように
分母の根号の数を分母、分子それぞれにかけてあげればいいってことなので
問題を解いて、解き方を身につけて行こう。
根号のふくむ数と近似値の関係で、\(\sqrt{2}=1.414\)としたとき
\(14.14\)は根号をふくむ数で表すとどうなるか考えてみよう。
単純に考えてみると、\(1.414\)の10倍になっているってことなので、\(\sqrt{20}\)って
思うかもしれないんだけど、実際に計算して考えてみると。。

\(14.14=\sqrt{200}\)になったね。ようするに
根号の中の数の小数点が2ケタずれるごとに
平方根の値の小数点は同じ方向に1ケタずつずれる
ってことになるんだね。

こう言った特徴もあることを覚えておこう。
4.根号をふくむいろいろな式の乗法、除法
今度は、また、根号をふくむ数の乗法、除法に戻るんだけど
\(\sqrt{20}×(-\sqrt{12})\)を計算してみるよ。

計算すると、答えは\(-\sqrt{240}\)ってことだよね。
この\(-\sqrt{240}\)の根号の中をできるだけ小さい自然数で表すと。。

素因数分解をして、素因数だけの式にすることで
\(-\sqrt{240}=-4\sqrt{15}\)とすることができたよね。
この素因数分解を計算の段階で使用していくと。。

根号の中をできるだけ小さい自然数に置き換えて計算してあげたほうが
計算がしやすくなることがあるんだね。それと、
求められた解が根号の場合はできるだけ
小さい自然数にして表す
っていうのを決めごととしておこう。
除法に関しても同じことが言えて、\(-3\sqrt{18}÷|\sqrt{6}\)を計算すると。。

と、計算の途中で素因数分解してあげてから計算することで
計算をやりやすくしてから、解くことができるんだね。
他には乗法と除法がまざった式なんかもやることは同じになるよ。
例えば、\(\sqrt{24}÷\sqrt{18}×(-2\sqrt{3})\)を計算する場合は
まず、除法の「\(÷\)」を「\(×\)」にして逆数にしてあげて

すべて乗法にしてあげてから計算していってあげればいいんだ。
あと、計算するときは素因数分解をしてあげて計算するとわかりやすいよ。

素因数分解して解いていく方法も根号をふくむ式の計算に慣れるまでで
慣れてくれば、そのまま約分して計算する方法でも全然アリなので
自分のやりやすい計算のやり方っていうのを身につけていくようにしよう。

こんな風に約分してあげるだけでも計算はしていくことができるんだ。
次の項では、加法と減法についてやっていきますね。
5.根号をふくむ数の加法、減法
じゃあ、ここで問題。
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)は乗法と同じように\(\sqrt{a+b}\)として計算してもよいか?
これは、実際に適当な数を当てはめて計算してみよう。

なので、加法の計算では、根号の中の数が違う場合は、一つの根号として
計算することができないってことなんだね。
ちなみにこれは、減法にも同じことが言えて「\(\sqrt{a}-\sqrt{b}≠\sqrt{a-b}\)」なんだ。
ようするにこう言うことなんだね。
加法、減法の場合、根号の中の数が同じときは
文字式の同類項をまとめるのと同じように
分配法則を使って計算することができる
この分配法則でまとめることができるって言うのはどう言うことかっていうと。。

根号の中は、変わることはなく、根号の外にある数だけを
計算してあげているってことだね。
あと、根号の中の数が違っても、その根号の中を小さい自然数になるように
変形してあげて、根号の中の数が同じになるなら、加法と減法を使って
計算してあげることができるよ。

これは、根号をふくむ式の加法、減法を行う上でも大事なところになるので
しっかり理解しておこう。
6.根号をふくむいろいろな式の計算
ここまでで、根号をふくむ式の四則計算っていうのを解説してきたんだけど
これらを使って、いろいろな式の計算を行っていくことができるんだね。
(1) 分母に根号をふくむ数がある式
問題:\(2\sqrt{2}-\frac{6}{\sqrt{2}}\)
これを計算する場合、まず分数の方の分母に根号があるので有理化してあげて
分母から根号をなくしてあげてから、計算を進めていくんだね。

有理化してあげることで、減法で計算することができるんだ。
なので、分母に根号をふくむ式があった場合は、とりあえず
「有理化」してあげるところから始めてみよう。
(2) 分配法則を使った乗法の計算
問題:
① \((\sqrt{2}+\sqrt{3})(\sqrt{3}+2)\)
② \((3+\sqrt{3})(\sqrt{2}+\sqrt{6})\)
この問題の場合は多項式の乗法と同じように分配法則を使って
問題を解いていってあげればいいってことになるんだね。

分配法則で計算していくときには、平方根の乗法で計算してあげるってことになるので
計算間違いがないようにしておこう。
①では、同じ数の根号の乗法の場合は根号を外して表すことができるってことを
忘れないように注意が必要だね。
②では、根号の中の数を小さい数にすることができるものは、小さい数で
表してあげてるんだね、そうすると、同じ数の根号どうしの加法をしてあげることが
できるので、そこも計算してあげることができるだ。
根号をふくむ数の計算では、答えは、計算できるところをすべて計算してあげて
表してあげないと、バツになるので、最後までしっかり計算して行ってあげよう。
(3)展開の公式を使った乗法の計算
問題:\((\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\)
最後に、根号をふくむ数の乗法で、展開の公式を利用して解く場合を見ておこう。
今回の問題で展開の公式を使うとすると、「\((x+a)^2=x^2+2ax+a^2)\)」を
利用するってことだね。

展開したあとは、根号をふくむ数の計算の決まりごとをまもりながら計算を
して行ってあげればいいんだね。
今回は、ここまでになります。
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では、またさようなら。
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